はじめまして。

一ついいですか？
彼女のメールアドレスはどうやって知ったんですか？

と、いう事は用事以外で送られてくるメールは彼女にとって予想外だったわけですね。

今までの流れからすると、間違いメールも彼女はわざとだと思ってるでしょうね。
そうでなくても、自分のことを自分がいない所で他人同士が話してるとわかったらいい気はしないでしょう。

本当は彼女に直接謝るのがいいのですが、避けられててそれが困難なようでしたら、一度だけメールしましょうか。

「君の気持ちを無視して突っ走ってしまってすみませんでした。この間のメールは本当に送り間違いでわざとではないからね。そして、ご迷惑はわかってますが、言わせてください。お誕生日おめでとう。もう君の迷惑になるような事は一切しないので安心してください。だから電車も乗り換えたりしないで、普通に生活してください。」

謝罪の意を伝えるためだけのメールなので、彼女からの返信は期待しないでください。
元々彼女とあまりしゃべってないのなら、異常に避けられる状態を回避するというだけで、普通の日常に戻ることを大事にして、今後の交流までもは期待しないでください。

Rキャベツさんのした事は若いうちは誰でも突っ走りがちなので、決して特別悪いことではありませんが、彼女のことはもう諦めてください。

普段はあまりしゃべらないのにメールでは饒舌になるタイプの男性はすべての女性から嫌悪されると言っても過言ではありません。
だからこれからは内気な性格を少しずつ直していきましょうね。
今の状況がいじられキャラなら大学デビューもありですよ。